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浅议分形

发布时间:2015-09-08

刘海涛

  提到分形,可能有些人会感到很陌生。这是个什么概念,还是个什么东西?如果用最浅显但同时又貌似深奥的话来讲,分形就是“不规则的规则”。 

  不规则的规则?这又是什么? 

  为了说明不规则的规则,大家先来看一下“规则的规则”:在经典的欧氏几何中,大家可以用直线、圆锥、球等这一类规则的形状去描述如墙、车轮、道路、建筑物等人造物体,因为这些物体就是按欧氏几何的规则图形生成的。目前,几何学里所研究的对象,大体上就是这样“规则的规则”的。但是,自然界中,却存在很多“不规则”的复杂的几何对象,如山脉、云烟、波浪、树木、闪电,以及星团、短痕、浸润、冲积扇、泥裂、冻豆腐、水系、晶簇、蜂窝石、小麦须根系、树冠、支气管、星 系、材料断口、小肠绒毛、大脑皮层……等,它们无法用经典几何图形来描述,人们发现,没有传统的数学模型可以对它们进行研究,因为它们不再具有大家所早已熟知的连续、光滑可微这一基本性质了。这一大类形状奇怪的图形长期以来被认为是“不可名状的”、“病态的”而很容易被人们忽视了。 

  那么这种不规则怎么还能称之为“规则”呢?请看下图的例子: 

   

  这是一片叶子,那请问它规则吗?大家从第一感觉上来说,它貌似很美,很规则(因为大家往往把规则的东西看成美,所以美的东西往往就显得规则了)。但是,这片叶子却不是可以像车轮,楼房一样用经典的欧氏几何中的一些规则形状就能描述的。试想,大家能用直尺和圆规画出图中的叶子吗? 

  也许有人说能。是的,是可以的;但是,那将是一个漫长的工作。而且,在画图的过程中,大家就已经运用了分形的概念,虽然表面上大家只是用直尺和圆规,但大家却在不自觉地运用着“分形”,也就是“不规则的规则”。为什么这么说?大家再看一个经典的分形例子,Koch雪花: 

   

  大家取一个边长为1的正三角形,第一步,将每边三等分,以各边的中段为边,向外作小的正三角形,并去掉原来的中段,得到一个星形十二边形;第二步,继续将此十二边形的每条边三等分,以各边中段为边向外作更小的正三角形并去掉原来的各个中段,生成一个48边形;如此继续下去以至无穷,得到的极限曲线是连续的但在任何地方都没有确定的切线,如上图所示。 

  如果对比叶子的图片,大家是不是会感觉到这两幅图有什么相似之处呢? 

  是的,它们在某种程度上很相似:都是不规则的,但都蕴含着规则之美。这可以用分形的定义来说明:分形集是一类不能用经典几何方法描述的“不规则”集合,它们基本满足分形的经典性质,但是在自相似的程度上可以有很大差别。而什么又是分形的经典性质呢?从几何学上看,分形是实空间或复空间上一些复杂的点的集合,它们构成一个紧子集,并且具有下面经典的几何性质:分形集都具有任意小尺度下的比例细节,即具有无限精细结构;分形集无法用传统几何语言来描述,它不是某些简单方程的解集,也不是满足某些条件的点的轨迹;分形集具有某种自相似形式,包括近似和统计上的自相似;分形集一般可以用简单的方法定义和产生,如迭代;按某种维数定义,分形集的分形维数大于相应的拓扑维数。 

  概念性的东西总是很难理解,但大家将这个概念与Koch雪花联系起来,相信会豁然开朗许多。这就是分形,不规则中的规则。大家知道材料中有一类结构叫做“准晶”,那么,这种不规则的规则是不是就可以叫做“准规则”了呢? 

  Koch雪花应用到现实的一个例子是海岸线模型:到过海边的人都见过海岸线,大家也常常见到先容某国的文字中有“某某国有海岸线多长多长”的字样,那么,这个数字准确吗?它是怎么算出来的?分形概念的提出者数学教授Mandelbrot1967年在《Science》杂志上发表了一篇富有启发性的文章,题目就叫“英国的海岸线有多长?”(How long is the coast of Britain?)。文章中说,海岸线这种曲线的度量是无法得到一个确定的答案的,测定的长度依赖于所采用的测量的尺度。如果测量单位较大,就如同远距离观察的效果,较小的海湾是不可能看到的,所以在测量中无法得到反映。当你接近海岸线时,相当于以较小的度量单位作出测量,一些较小的海湾就变得清晰了。如果再缩小尺度,那么海湾的细节也可以观测到,尺度足够小时,海岸线的更精细的凹凸波动都可以清晰地显现出来,因此,Mandelbrot断言,海岸线的长度是不确定的。貌似这时,大家似乎又可以说分形还是一种“规则的不规则”了。 

  这就是神秘而熟悉的分形。 

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